Bí ẩn về những người màu xanh da trời

Nghe có vẻ lạ tai nhưng sự tồn tại của những người màu xanh da trời lại là sự thật, có điều số lượng rất ít. Cho tới nay, khoa học chỉ mới ghi nhận hiện tượng này trong một dòng họ.

Vào những năm 1950, các bác sĩ ở Bệnh viện khu vực Lexinton (Kentucky, Mỹ) đã rất ngạc nhiên khi cấp cứu cho một bệnh nhân có tên là Benjamin. Họ không tài nào giải thích nổi tại sao nước da của cậu bé lại có màu xanh da trời. Các bác sĩ cho rằng có thể cậu đang trong tình trạng thiếu máu nghiêm trọng, nhưng các xét nghiệm cho thấy không phải như vậy.

Các bác sĩ càng ngạc nhiên hơn khi nghe bà của Benjamin nói: "Các ông đã bao giờ nghe nói về dòng họ người xanh Fugate? Chúng tôi chính là hậu duệ đời thứ 6".Theo những tài liệu của bà cụ cung cấp, họ đã biết đến một dòng họ kỳ lạ nhất trong lịch sử nhân loại.

Năm 1820 tại tiểu bang Kentucky, dư luận xôn xao bàn tán về một hiện tượng chưa từng có: Một gia đình có những người màu xanh da trời. Ông Martin Fugate, một người nhập cư gốc Pháp đến lập nghiệp tại khu đồi Troublesome Creek và lập gia đình với bà Elizabet Smith. Họ có 7 người con, trong đó 4 người có nước da màu của bầu trời. Những đứa trẻ lục nhân nhà Fugate đều phát triển hoàn toàn bình thường về trí tuệ và sức khỏe, hầu như không mắc bệnh tật gì. Sau này họ cũng lập gia đình, sinh con cái và sống khá thọ (80-90 tuổi). Các nhà nghiên cứu thời đó dự đoán rằng, hiện tượng người xanh có thể liên quan đến bệnh tim mạch hoặc rối loạn máu, nhưng không ai chỉ rõ được.

(Ảnh: blogger.com)

Đi tìm lời giải đáp

Vào những năm 1960, Madison Cawein, một nhà huyết học trẻ thuộc Học viện Ketucky đã quyết định đi tìm lời giải cho hiện tượng hiếm có này. Ông đã tới khu vực Troublesome Creek để lật lại hồ sơ và ghép nối những câu chuyện về dòng họ người xanh.

Cawein đã nhận được sự giúp đỡ rất tận tình của một nữ y tá có tên là Ruth Pendergrass, người nhiều năm trực tiếp theo dõi lục nhân. Bà đã vô tình phát hiện ra một phụ nữ xanh sống ở khu vực và thuyết phục người này đến cơ sở y tế để làm các xét nghiệm phục vụ việc nghiên cứu.

Cawein đã gặp được ngườii phụ nữ đó - một người trong dòng họ của Fugate. Ông phát hiện ra một điều thú vị, bà ta không hề mắc bệnh về tim mạch và rối loạn phổi như nhiều người đã nhận định.

Sau khi đã loại bỏ sự liên quan giữa bệnh tim mạch, phổi... đối với màu da của người này, Cawein quyết định tập trung theo hướng rối loạn di truyền về máu. Ông bắt đầu cuộc tìm kiếm bằng cách xây dựng lại gia phả của dòng họ Fugate và phát hiện đời thứ 6 của dòng họ Fugate có tới 13 người da xanh.

Kết quả xét nghiệm máu cho thấy lượng methemoglobin (MetHb) cao là nguyên nhân tạo nên màu xanh cho da (vì methemoglobin có màu xanh). Hồng cầu là tế bào chứa nhiều ôxy nên cấu trúc của nó thường xuyên có nguy cơ bị ôxy hóa và rất nhạy cảm với các quá trình ôxy hóa. Do đó, hồng cầu rất dễ bị hủy hoại. Để tránh hiện tượng này, hồng cầu thường xuyên có quá trình tạo thành MetHb, đồng thời cũng thường xuyên khử MetHb thành Hb. Điều này bảo đảm cho lượng Methb máu ngoại vi luôn ở mức thấp. Một ngày, thường có khoảng 3% lượng Hemoglobin tự ôxy hóa thành Methb. Nhưng nồng độ Methb trong máu chỉ dưới 1%.

Cawein cho rằng ở người xanh, sự rối loạn chuyển hóa này tạo ra tỷ lệ MetHb không bình thường. Cawein đã sử dụng phương pháp khác để điều chỉnh lại chuyển hóa MetHb. Ông đã tiêm methylene vào ven của một người xanh có tên là Patrick. Điều kỳ lạ đã xảy ra, chỉ sau vài phút, nước da màu xanh da trời của Patrick đã trở thành hồng hào như thường. 13 người tương tự của dòng họ Fugate đã được uống viên nhộng methylene và sau một thời gian, da của họ đã đổi màu.

Bí ẩn về người xanh da trời đã được nhà huyết học Cawein khám phá là do rối loạn chuyển hóa MetHb và Hb trong máu. Đây là một rối loạn có tính di truyền, những người mắc chứng này hoàn toàn bình thường.

Bà Luna Pacy, mẹ của cậu bé Benjamine kể trên, thuộc đời thứ 5 của dòng họ Fugate. Bà sống tới năm 84 tuổi và sinh được 13 người con có nước da màu xanh, trong đó người xanh cuối cùng là cậu bé Benjamine. Câu chuyện về những người xanh da trời từng được đưa lên show truyền hình đắt khách về những điều kỳ lạ của con người. Bí ẩn về dòng họ Fugate có nước da màu xanh da trời đã khép lại sau hơn một thế kỷ tồn tại.

Theo Sức Khỏe & Đời Sống, Vnexpress

Bí ẩn loài 'nửa thực vật, nửa động vật' duy nhất trên Trái Đất

Loài sên biển này cũng khiến nhiều người thích thú với vẻ ngoài độc đáo, dễ thương của chúng.

Trên thế giới, tồn tại một số loài ốc sên biển có chất diệp lục trong cơ thể mà nhờ đó, chúng có thể tự tổng hợp chất dinh dưỡng từ ánh sáng mặt trời giống như thực vật.

Tuy nhiên, có một loài sên biển độc nhất trên thế giới có tên Sacoglossans không có chất diệp lục mà vẫn có thể sống sót.

Hình ảnh về loài "nửa thực vật, nửa động vật" Sacoglossans.

Khác với một số loài sên biển, Sacoglossans không có chất diệp lục nhưng vẫn có thể sống sót.

Điều này đã thôi thúc các nhà khoa học tiến hành nghiên cứu. Họ nhận thấy loài sacoglossans này có khả năng “hút chất” từ các sợi tảo.

Thay vì tiêu hóa thức ăn giống như những loài động vật thông thường, chúng giữ lại chất diệp lục từ tảo. Từ đó, chúng có thể tổng hợp chất dinh dưỡng từ mặt trời.

Tuy nhiên, chỉ đơn giản là “đánh cắp” diệp lục thì không thể lấy năng lượng từ mặt trời được. Các nhà nghiên cứu chỉ ra rằng, trong cơ thể Sacoglossans còn sở hữu gen khác với các loài động vật thông thường, cho phép nó tổng hợp năng lượng.

Sacoglossans hút chất diệp lục từ tảo, kết hợp với loại gen đặc biệt để tổng hợp năng lượng mặt trời.

Như vậy, Sacoglossans có tới hai cấp độ gen khác nhau, vừa của động vật và vừa của thực vật.

Điều này cũng cho thấy, gen này có thể đã tiến hóa trước khi có sự phân tách giữa  động vật và thực vật từ cách đây rất lâu. Chúng cũng là bằng chứng cho một mối liên hệ tiến hóa giữa các gen của động vật và thực vật.

Sacoglossans có tới hai cấp độ gen khác nhau, vừa của động vật và vừa của thực vật.

Chúng cũng là bằng chứng cho một mối liên hệ tiến hóa giữa các gen của động vật và thực vật.

Lịch sử toán học (phần 7)

Lịch sử Toán học – Phần 7

7. Thế kỉ 19

Thời đại mới bắt đầu với Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), “vị hoàng tử của toán học”. Giống như Archimedes đã ảnh hưởng sâu đậm nền khoa học của thời đại tiền Hi Lạp và Newton khống chế thời kì hậu Elizabeth, Gauss thống trị nền toán học thế kỉ 19. Ông vốn là một thần đồng toán học, có thể làm tính số học lúc mới lên 3, và quen thuộc với các chuổi vô hạn khi được khoảng 10 tuổi. Lí thuyết số (theory of numbers) hiện đại bắt nguồn từ công trình đồ sộ của ông tên Disquisitiones Arithmeticae, công bố năm 1801. Với quyển sách về Cơ học thiên thể (celestial mechanics), Gauss được nhận như nhà toán học đứng đầu của châu Âu. Công trình của ông ngắn gọn và rõ ràng, và đặc trưng bằng việc chứng minh chặt chẽ. Mặc dù các cột mốc trong hầu hết các ngành toán học đều mang tên ông, Gauss bộc lộ xu hướng cá nhân mạnh mẽ về một ngành khi nói rằng “toán học là nữ hoàng của khoa học, và lí thuyết số lại là nữ hoàng của toán học”.

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

Cùng với việc mở đầu thế kỉ mới, sáng tạo toán học bắt đầu gia tăng tột bậc, đến năm 1990 đã cho ra số công trình nhiều gấp khoảng năm lần số công trình hoàn thành trong tất cả các giai đoạn trước đó. Với sự phong phú cao độ về nguồn tài liệu, toán học đã trở nên một bộ môn rộng lớn đến nổi mỗi đầu óc riêng lẻ không còn đủ sức để thông hiểu hết tất cả mọi ngành được nữa. Ngoại trừ một ít người có trình độ thông minh tuyệt đỉnh như Gauss, Riemann, Klein, và Poincaré, các nhà toán học nói chung bị buộc phải tư giới hạn các cố gắng của họ vào một ngành chính nào đó như đại số, hình học, hay giải tích. Diện mạo toán học cũng có nhiều thay đổi khác xảy ra. Ưu thế của các viện hàn lâm khoa học được hoàng gia bào trợ giảm sút nhanh chóng, và việc nghiên cứu trở nên một chức năng quan trọng của các trường đại học. Trong nội bộ toán học, các nhà toán học ngày càng trở nên tự phê phán hơn. Việc đòi hỏi một sự chặt chẽ mới trong tất cả các chứng minh và việc không tin cậy vào trực giác của họ làm nẩy sinh ngành logic tượng trưng và tiên đề hoá.

Từ đây trở đi, một sự liệt kê tuần tự chặt chẽ theo thời gian các tiểu sử không còn đủ sức phát hoạ được sự tiến bộ của toán học, vi thế sẽ đuợc thay bằng một loạt các tường thuật, mỗi tường thuật đi theo một chủ đề nhỏ giống như một trong những tường thuật phía trên. Sẽ có những trùng lặp không tránh khỏi về tên tuổi, thời gian và ý tưởng, nhưng toàn cảnh của bức tranh tổng thể sẽ được cố gắng hết mức để giữ cho nguyên vẹn.

Trong khi khoa vật lí và kĩ thuật tiếp tục thu lượm những phần thưởng từ toán vi tích phân, bản thân toán học cũng bắt đầu hưởng lấy những lợi ích từ tinh thần cách mạng đang lan tràn trong thế giới phương Tây. Ở Pháp, sự đổ nhào của chế độ quân chủ và thời kì Napoléon kế đó đã tạo ra một môi trường lí tưởng cho việc cấy trồng những tư tưởng mới. Trong bầu không khí này, Évariste Galois, một thanh niên thông minh và có tính khí khác thường, từng bị đuổi học và vào tù, đã được sinh ra. Mặc dù có các xáo trộn giáo dục và chính trị thường xuyên, Galois đã dành phần lớn thời giờ của mình cho đại số – môn học vào lúc đó chỉ gần như là số học khái quát hoá, nhưng các bài viết của ông không được chú ý. Năm 1832, trước sinh nhật thứ 21 không lâu, Galois đã bị giết chết khi dính vào một trận thách đấu. Đêm trước “sự việc vì danh dự” đó, ông đã thảo nhanh một bức thư gửi bạn, trong đó có ghi “Tôi đã hoàn tất một vài khám phá mới trong giải tích…. Tôi hi vọng, sau này sẽ có người tìm thấy nó để trình bài lại sáng sủa tất cả mớ hỗn độn này cho lợi ích của mình.” “Cái mớ hỗn độn này” chính là lí thuyết nhóm, nền móng của giải tích và hình học hiện đại. Niels Henrik Abel, một nhà toán học Na Uy cùng thời và cũng mất trước tuổi 30, cũng đã độc lập làm ra công trình theo hướng này.

Evariste Galois (1811-1832)

Niels Henrik Abel (1802 – 1829)

Việc giải phóng đại số khỏi sự phụ phuộc vào số học đã đưa môn học này tiến một buớc nhảy vọt với sự khám phá ra quaternion bởi William Rowan Hamilton (1805 – 1865) – một nhà toán học và thiên văn Ireland [Ai-lan] (Ái nhĩ lan). Hamilton là một thần đồng, vào tuổi 12 đã sử dụng được 12 ngôn ngữ. Ông dùng phần lớn thời gian đầu trong sự nghiệp khoa học của mình để ứng dụng toán học vào các lí thuyết vật lí, đặc biệt là quang học và cơ học. Năm 1835 ông chuyển sự chú ý của mình vào đại số, và 8 năm sau đó khám phá ra quaternion. Nói một cách thô thiển, hệ các quaternion là một khái quát quá của hệ số phức và phép nhân các quaternion là một ví dụ đầu tiên đáng giá về một phép toán không giao hoán. Chẳng bao lâu các lớp tổng quát các đại số đã ra đời từ công trình nặng về hình học của Hermann Grassmann, và môn học này đã bước hẵn trên con đuờng đi vào trừu tượng. Nước Anh là trung tâm của thứ đại số thế kỉ 19 này với những ứng dụng hình học của nó, những ứng dụng này nở rộ theo sự dẫn dắt tích cực của Arthur Cayley (1821 – 1895), cha đẻ của lí thuyết ma trận, và James Joseph Sylvester (1814 – 1897),động lực chính trong sự phát triển ban đầu của nền toán học châu Mĩ. Hai trong số những tên tuổi nổi bậc của lí thuyết nhóm là Felix Klein (1849 – 1925) và Marius Sophus Lie (1842 – 1899). Klein là một nhà hình học nghiên cứu các nhóm rời rạc (discrete groups), còn Lie làm việc với các nhóm liên tục (continuous groups).

Arthur Cayley (1821 – 1895)

James Joseph Sylvester (1814 – 1897)

Marius Sophus Lie (1842 – 1899)

Với sự xuất hiện của Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) và những nhà toán học cùng thời của ông, các nhà giải tích nói chung trở nên ý thức hơn về sự cần thiết của chứng minh với lập luận chặt chẽ. Cauchy đã đưa ra một đĩnh nghĩa sử dụng được cho khái niệm giới hạn và tiến hành xây dựng nền tảng vững chắc cho toán vi tích phân. Ông cũng đã phát triển lí thuyết hàm với biến phức gần như cùng lúc khi Gauss công bố số học phức của mình. Bernhard Riemann (1826 – 1866) của Đức cũng đi tiên phong trong lí thuyết số phức; phần lớn công trình của ông cũng có ý nghĩa hình học rõ nét. Đóng góp đơn lẻ quan trọng nhất của Gauss, Abel, Cauchy, Riemann và các nhà toán học khác đầu thế kỉ 19 là sự chú tâm tỉ mỉ của các ông tới việc chứng minh chặt chẽ. Công trình của các ông đã mở đường cho Karl Weierstrass (1815 -1897) – một nhà toán học nổi tiếng về lập luận tỉ mỉ và thận trọng. Ông làm sáng tỏ khái niệm về hàm số, đạo hàm, và loại bỏ được tất cả những mù mờ còn lại trong toán vi tích phân. “Với Weierstrass việc thu gọn các nguyên lí của giải tích về các ý niệm số học đơn giản nhất đã bắt đầu và chúng ta gọi việc này là số học hoá toán học.”

Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857)

Karl Weierstrass (1815 -1897)

Tiêu biểu cho cách tiếp cận này là Leopold Kronecker (1823 – 1891), ông khẳng định “Mọi kết quả của một nghiên cứu toán học sâu xa nhất rốt cuộc phải được diễn tả được duới dạng đơn giản về tính chất của số nguyên.” Ông là một nhà lí thuyết số, nhưng ông được biết đến nhiều nhất qua cuộc tranh luận kéo dài với Weierstrass, người có các lí thuyết dựa trên ý niệm về các dãy vô hạn. Kronecker, trái lại, không chấp nhận sự tồn tại toán học của bất cứ cái gì không thực sự xây dựng được qua một số hữu hạn các bước. Đối nghịch hoàn toàn với quan điểm này là Richard Dedekind (1831 – 1916) và Georg Cantor (1845 – 1918). Dedekind phát triển một cách chặt chẽ ý niệm về số vô tỉ, từ đó cho phép hệ số thực trở thành cơ sở của mọi thứ giải tích. Cantor trong quyển Mengenlehre (Lí thuyết tập hợp), đặt khái niệm số trên cơ sở khái niệm tập hợp, và tiến hành phát triển các loại vô hạn khác nhau, hay các số siêu hạn (transfinite numbers), các số này có các tính chất gần như các số nguyên trong số học sơ cấp. Theo Kronecker, điều này là một trò đùa nguy hiểm của toán học, và ông công kích cả lí thuyết lẫn tác giả hết sức mạnh bạo đến nổi Cantor bị một loạt suy sụp tinh thần và cuối cùng chết trong một bệnh viện tâm thần. Tuy nhiên lí thuyết tập hợp vẫn là một phần nổi bậc nhưng hay gây ra tranh cải trong tư tưởng toán học.

Georg Cantor (1845-1918)

Richard Dedekind (1831 – 1916)

Cuộc cách mạng trong hình học được báo trước rất sớm vào năm 1733 bởi công trình của Girolamo Saccheri. Kể từ khi Euclid đưa ra bộ Elements, lúc nào định đề thứ 5 (thường được gọi là “Định đề Song Song”) cũng bị đặt dấu hỏi bởi những nhà toán học nghĩ rằng nó có thể chứng minh được từ 4 định đề khác. Saccheri biết tất cả những cố gắng trước đây để thực hiện điều này đều thất bại nên ông đề ra một cách tiếp cận vấn đề khác biệt một cách cơ bản. Ông thay “định đề có vấn đề” bằng phủ định của nó với hi vọng sẽ đi đến hai mệnh đề mâu thuẫn nhau trong hệ mới này. Nếu ông làm được việc này thì điều đó có nghĩa là định đề thứ 5 nguyên thuỷ là hệ quả tất yếu của các định đề kia, nhưng hệ thống mới lại không nẩy sinh ra mâu thuẫn nào cả. Quá thất vọng, ông đã đi quay nguợc trở lại trong khi chỉ cần tiến thêm một bước nữa ông sẽ làm nên khám phá của thế kỉ, và công trình của ông chẳng bao lâu đi vào quên lãng.

Đầu thế kỉ 19, có ba nhà toán học thuộc ba nước khác nhau đã sử dụng cách tiếp cận của Saccheri nhưng các ông đã có tầm nhìn sâu sắc hơn để hiểu được ý nghĩa “sự thất bại” của mình và cũng có can đảm công bố các điều tìm được. Nicolai Lobachevsky năm 1829, János Bolyai năm 1832, và Bernhard Riemann năm 1854 đều đã công bố hệ hình học phi-Euclid nhất quán một cách độc lập lẫn nhau. Gauss cũng có một vài ý tưởng tương tự như thế vài thập niên trước nhưng giữ lại không công bố vì sợ bị chỉ trích. Các ý tưởng này xung đối với triết lí của Kant đang thịnh hành coi khái niệm không gian là không gian Euclid một cách tiên nghiệm, và do đó các ý tưởng mới đó vẫn còn khuất trong bóng tối nhiều thập niên. Nhưng cánh cổng chặn dòng lũ logic đã được mở ra. Các định đề không còn là các mệnh đề hiển nhiên đúng theo trực giác nữa mà chúng chỉ đơn giản là các giả định mà việc lựa chọn chúng là hoàn toàn tuỳ ý, không chịu điều kiện ràng buộc nào trước cả. Điều này đã mở đầu cho phương pháp tiên đề hình thức.

János Bolyai (1802-1860)

Bernhard Riemann (1826-1866)

Từ đây hình học không còn giới hạn ở các hình ảnh thấy được nữa, nó đã phát triển với một tốc độ diệu kì. Quyển Ausdehnungslehre (Lí thuyết các mở rộng) của Grassmann đem cho thế giới môn hình học mở rộng hoàn toàn n-chiều cho các không gian metric. Với công trình này ông đuợc xem như là một trong những nhà sáng lập môn giải tích vector (cùng với Hamilton). Jacob Steiner (1796 – 1863), một nhà hình học tổng hợp thuần tuý không thích đại số và giải tích, đã phát triển phần lớn môn hình học xạ ảnh (chiếu). Felix Klein trái lại hợp nhất các thứ hình học bằng đại số hiện đại với phát biểu trong quyển “Erlanger Program” rằng mỗi thứ hình học đều là một ngành nghiên cứu về các bất biến của một tập hợp đối với một phép biến hình nào đó. Lí thuyết này được Cayley và Lie mở rộng thêm rất nhiều.

Hermann Grassmann (1809-1877)

Felix Klein (1849-1925)

Henri Poincaré (1854 – 1912), nhà toán học đa năng vĩ đại cuối cùng đã để lại dấu ấn sâu đậm cho xu hướng hợp nhất toán học. Trí nhớ và năng lực am hiểu logic hầu như siêu phàm của ông đã cho phép ông có những đóng góp có giá trị cho số học, đại số, hình học, giải tích, thiên văn và vật lí toán. Ngoài ra ông còn viết sách phổ biến toán học và tích cực quan tâm tới tâm lí sáng tạo. Ông có tầm ảnh hưởng sâu đậm đến sự phát trỉển của môn tôpô (vị tướng học), một ngành toán học tương đối mới mà trước đây thường được gọi là analysis situs (giải tích vị trí) và đôi khi được nói tới như là “hình học của các tấm cao su.”

Henri Poincaré (1854 – 1912)

Cách xử lí hình thức hoá môn đại số ở Anh và cách tiếp cận tiên đề trừu tượng ở lục địa châu Âu đã khơi ngòi cho một sự chú tâm đột ngột vào logic và nền tảng toán học, mối quan tâm này lại được nhân đôi sau khi có sự xuất hiện của lí thuyết dễ gây tranh cãi về tập hợp của Cantor. Nghiên cứu có ý nghĩa toán học đầu tiên về logic là các quyển The Mathematical Analysis of Logic (1847) và The laws of Thoughts (1854) của George Boole [Bul] (1815 – 1864). Trong hai công trình này ông đã thể hiện một cách tiếp cận logic hoàn toàn tượng trưng và đã đặt nền móng cho các mở rộng tương lai của lĩnh vực này. Năm 1884, Gottlob Frege (1848 – 1925) xuất bản quyển Die Grundlagen der Arithmetik (Nền tảng của Số học) đưa ra một dẫn xuất của các khái niệm toán học từ logic hình thức và do đó đã kích thích mạnh mẽ các cố gắng hợp nhất logic và toán học.

Lịch sử toán học (phần 6)

Lịch sử Toán học – Phần 6

6. Thế kỉ 18

Toán vi tích phân giữ vị trí chi phối sự phát triển toán học trong thế kỉ 18. Việc khai phá lí thuyết mạnh mẽ mới này tiến hành theo hai hướng – mở rộng và áp dụng vào các phần khác của toán học và vật lí, và xem xét nền tảng logic của nó. Việc nghiên cứu trong thời kì này chủ yếu được tiến hành ở Royal Academies (các viện Hàn lâm Hoàng gia), bảo trợ bởi “các quyền lực sáng suốt” của thời đại, trong khi các trường đại học chỉ đóng một vai nhỏ trong việc sản sinh các tư tưỏng mới. Những viện hàn lâm hàng đầu ở Berlin, London, Paris và St Peterburg. Pháp chiếm phần vượt trội về tài năng toán học, nhưng Thuy Sĩ cũng có những đóng góp có ý nghĩa trong lĩnh vực này.

Một gia đình họ Bernoulli đã đào thoát nước Bỉ vào năm 1583 để tránh sự trù dập của tôn giáo, và cuối cùng đã định cư ở Thuỵ Sĩ. Con cháu gia đình này làm dấy lên một cuộc tranh lụận mạnh mẽ về việc di truyền khả năng trí tuệ; trong ba thế hệ họ đã tạo ra 8 nhà toán học xuất sắc trong đó có 4 người đạt danh tiếng quốc tế! Mở đầu và được biết nhiều nhất là hai anh em Jacob (1654 – 1705) và Johann (1667- 1748). Từ bỏ sự nghiệp thần học và y học do bị quyến rũ bởi công trình tiên phong của Leibniz về toán vi tích phân, Jacob và Johann Bernoulli đã bước vào một cuộc tranh đua ráo riết giữa hai ông với nhau và với chính Leibniz, điều này đã làm sản sinh ra phần lớn nguồn tài liệu có trong các bài giảng sơ cấp vê tính vi tích phân hiện nay, cũng như các kết quả trong lí thuyết phương trình vi phân thường. Phần lớn các công trình của hai ông tập trung vào các tính chất của một số đa dạng các đường cong đặc biệt, kể cả đuờng dạng dây xích, đường xoắn ốc logarit, và Johann Bernoulli thường đưọc xem như là cha đẻ của ngành toán về các biến đổi do ông nghiên cứu về đường brachistochrone (đường cong mà theo đó một chất điểm sẽ trượt từ một điểm này tới một điểm khác dưới ảnh hưởng của trọng lực trong thời gian nhỏ nhất có thể có, lực ma sát xem như không đáng kể). Ngoài đóng góp của ông cho toán vi tích phân, Jacob cũng đã làm được môt công trình nổi bậc về hình học và đã viết quyển sách đầu tiên dành cho lí thuyết xác suất. Hai người con của Johann cũng được nổi tiếng – Nicholaus (1695 – 1726) nhờ công trình về Hình học, và Daniel (1700 – 1782) nhờ các bài viết sâu sắc trong lĩnh vực thiên văn, vật lí toán và thuỷ động học.

Johann Bernoulli

Nhà toán học có nhiều thành quả nhất của thế kỉ này là Leonhard Euler, sinh năm 1707 ở Basel, Thuỵ sĩ. Ông là học trò của Johann Bernoulli, và cũng nghiên cứu về thần học, y học, các ngôn ngữ phương Đông, thiên văn, và vật lí. Năm 1727 ông là thành viên của viện Hàn lâm St Petersburg, rồi lãnh đạo viện Hàn lâm Berlin năm 1747, sau đó 20 năm lại trở về Petersburg và sống ở đó đến khi mất năm 1783. Ông là một nhà toán học hoạt động không mệt mỏi và ngay cả khi mắt ông bị mờ vào lúc 28 tuổi và mù hẳn ở tuổi 59, khả năng làm việc của ông cũng không suy giảm nhiều. Ông đã viết gần 900 quyển sách và luận văn quan trong trong các lĩnh vực giải tích, đại số, số học, cơ học, âm nhạc, và thiên văn. Euler là người đưa ra phần lớn kí hiệu hiện đang dùng trong đại số và giải tích hiện đại, và ông đã có công đưa lượng giác thành dạng như hiện nay; nhưng có lẽ thành tích nổi trội nhất của ông có được từ cố gắng xây dựng toán vi tích phân như là một lí thuyết giải tích không phụ thuộc vào hình học.

Leonhard Euler (1707-1783)

Phần sau của thế kỉ 18 là một thời kì xáo trộn về chính trị. Anh đang bị ít nhiều khó khăn trong việc ổn định thuộc địa còn rối ren của mình ở châu Mĩ, còn giai cấp quý tộc Pháp thì mất khả năng điều khiển nông dân. Biến động ở Pháp quyết liệt đến nổi không thể tin nổi là các nghiên cứu khoa học chẳng những vẫn tồn tại mà cón lớn mạnh suốt cả thời gian này. Thật vậy, toán học Pháp vẫn giữ vị trị vượt trội của mình. Các nhà toán học trong lục điạ châu Âu có lợi thế mạnh hơn các nhà toán học Anh ở chỗ toán vi tích phân của Leibniz thì dễ hiểu và dễ áp dụng hơn nhiều so với lí thuyết khó xài về sự chuyển đổi liên tục của Newton, và các thành tựu đạt được cho thấy rằng họ đã đưa nó vào sử dụng tốt.

Một đột phá quan trọng trong toán vi tích phân đã được Jean d’Alembert (1717 – 1783) thực hiện khi ông khử trừ được ”các bóng ma về các đại lượng dời chỗ” của Newton bằng cách đưa ra khái niệm giới hạn. Tuy nhiên các người cùng thời với ông không đánh giá được ý nghĩa của ý tưởng này và để nó ngủ yên trong nhiều năm.

Jean d’Alembert (1717 – 1783)

“Đỉnh kim tự tháp cao chót vót của khoa học toán” theo Napoleon Bonaparte là Joseph Louis Lagrange [La-grăng] (1736 – 1813), một nhà toán học lỗi lạc nhưng khiêm tốn được Napoléon và hai vuơng triều nước ngoài tôn vinh, và sự nghiệp của ông đã tiến lên không cùng nhờ sự ủng hộ hết mình của Euler. Lagrange cải tiến và sắp xếp lại phần lớn nội dung toán vi tích phân của Euler và nghiên cứu sâu rộng lí thuyết phương trình, lí thuyết số và cơ học. Ông cũng là người chịu trách nhiệm mở ra chương trình toán cấp tốc ở hai trường mới thành lập của Pháp là École Normale (trường Sư phạm) và École Polytechnique (trường Bách khoa).

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

Pierre Simon Laplace [La-pla-xơ] (1749 – 1827) là nhà toán học ứng dụng xuất sắc của thế kỉ này. Ông sinh ra trong một gia đình nông dân, nhờ tài năng toán học hiếm có của mình ông đã cải thiện bậc thang xã hội của mình và cuối cùng được Napoléon phong chức Bá tước. Công trình nổi tiếng nhất của ông là Théorie analytique des probabilités (Lí thuyết giải tích về xác xuất) và bộ sách vĩ đại gồm 5 quyển Mécanique céleste (Cơ học thiên thể), trong đó ông đã duyệt lại, hợp nhất và mở rộng một cách công phu tất cả các công trình trước đó trong lĩnh vực xác suất và cơ học thiên thể. Mặc dù ông có khuynh hướng đáng phiền khi mượn ý mà không nói rõ, nói chung Laplace vẫn được mọi người thừa nhận là một nhà khoa học sáng tạo nổi bậc. Tầm cở các công trình của ông đi ngược với tính cô đọng của chúng; như lời của một trong những dịch giả “Tôi chưa bao giờ nắm bắt ngay được một trong những cái ‘Vậy đơn giản là’ của Laplace mà không phải trải qua hàng giờ cật lực làm việc để lấp đầy chỗ trống và để tìm và chứng minh làm thế nào mà lại ‘đơn giản là’’.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

Cũng phải nói thêm ngắn gọn về Adrien-Mair Legendre và Gaspard Monge. Cả hai đều đạt tới đỉnh cao trong sự nghiệp khoa học của mình vào những năm cuối thế kỉ này, nhưng công trình của họ lại khác biệt nhau một cách cơ bản. Mặc dù chủ trì bài viết về tổ chức lại toàn bộ hình học Euclid, phần chính công trình của Legendre lại là giải tích và toán ứng dụng, một lĩnh vực thống trị vào lúc đó. Trái lại, Monge là một nhà hình học mực thước, một trong những chuyên gia đầu tiên về toán học hiện đại. Ông được biết nhiều nhất qua việc phát triển môn Hình học hoạ hình (descriptive geometry), và các ý tưởng hình học thâm nhập khắp các công trình của ông. Điều này ghi dấu ông như là một sứ giả cho thời kì kế tiếp.

Chú thích

[5] Định lí cuối cùng của Fermat (Fermat’s last theorem) đã được chứng minh bởi Andrew Wiles vào năm 1995.
(Sưu tầm)

Lịch sử toán học (phần 5)

Lịch sử Toán học – Phần 5

5. Thế kỉ 17

Hai xu hướng có tính phá hoại trước đây bắt đầu cho quả ngọti trong thế kỉ 17. Xu hướng đầu và hiển nhiên hơn là sự xuất hiện thường xuyên của các cuộc chiến tranh cả lớn lẫn nhỏ về chính trị và tôn giáo., Kể từ thời Thập tự chinh, châu Âu lúc nào cũng chìm trong xáo trộn và hiếm có một năm trôi qua mà không có xung đột ở một nơi nào đó. Như từng thấy trong lịch sử, chiến tranh và đòi hỏi không ngừng nghỉ của nó về các thứ vũ khí mới và tốt hơn đã thúc ép các bộ óc tốt nhất của thời đại thi nhau trong việc sang chế ra các loại máy móc cho chiến trường. Tuy nhiên một khi vũ khí đã được làm ra, những đầu óc tốt thật sự thiết kế ra chúng quay ra việc nghiên cứu máy móc nói chung. Công trình của Leonardo da Vinci là một ví dụ tốt nhất cho điều này. Châu Âu từ từ đi vào giai đoạn đầu của cơ khí hoá, và trong một cố gắng phát triển các kĩ năng kĩ thuật cần thiết, các nhà khoa học và học giả đã chuyển vào nghiên cứu về chuyển động và thay đổi. Xu hướng thứ hai cũng rất mạnh bạo nhưng bắt đầu tinh tế hơn. Việc cải cách tôn giáo khởi xướng bởi Martin Luther ở lục địa châu Âu và bởi vua Henry VIII và con gái là Elizabeth ở Anh đã khơi ngòi cho một sự phản kháng của giới trí thức chống lại nhà cầm quyền và lề thói cũ đã đươc ủ mầm trong nhiều năm. Chủ nghĩa hoài nghi nói chung đã làm trẻ hoá triết học, và các nhà khai phá tư tưỏng đã bức phá về mọi hướng. Thời kì hỗn hợp này của khoa học và chủ nghĩa duy lí đã sản sinh ra nhìều nhân vật vĩ đại của lịch sử – các nhà thiên văn Galileo và Kepler; các nhà triết học Hobbes, Locke và Spinoza; và các tác gia Dryden, Milton và Shakespeare. Toán học đã trải qua một thời kì lớn mạnh chưa từng thấy cho tới thời hiện đại, và số lượng những người đóng góp có ý nghĩa cho sự tiến bộ của khoa học từ lúc này trở nên nhiều đến nổi từ đây trở đi chúng ta buộc phải tự giới hạn vào các nhà toán học sáng tạo hàng đầu mà thôi.

John Napier [Nê-pe] đạt tới đỉnh cao trong sự nghiệp khoa học của mình vào lúc dòng họ Stuarts lên thay cho dòng họ Tudors cai trị nước Anh và William Shakespeare đang trong giai đoạn sung mãn nhất. Ông sinh năm 1550 ở Scotland và là ngưòi cùng thời với Galieo và Kepler, và là một sản phẩm đích thực của thời đó. Gần suột cuộc đời mình, ông lúc thì công kích giáo hội Thiên chúa lúc thì nghiên cứu và thiết kế các thiết bị quân sự và đại bác tự phóng. Nhưng điều làm ông thành bất tử chỉ được xác lập vài năm trước khi ông mất là việc xuất bản quyển Mirifici Logarith-morum canonis Descriptio, trong đó ông đặt nền móng cho lí thuyết logarithm (lô-ga-rit). Hệ thống logarithm của ông hơi khó sử dụng, nhưng nhiều năm sau khi ông mất (vào năm 1617) nó đã dược hoàn thiện bởi Henry Briggs, một người bạn và đồng nghiệp của ông , người lúc đầu đã gợi ý việc dùng cơ số 10. Khá lạ lùng là sự phát triển của lí thuyết logarithm đã đi trước sự phát triển của các hàm mũ khoảng 50 năm.

John Napier (1550-1617)

Không thua kém nước láng giềng bên kia eo biển Anh, nước Pháp đã sản sinh ra 4 nhà toán học xuất sắc trong vòng nửa thế kỉ. Người đầu tiên trong số này là nhà triết học-khoa học René Descartes [Đê- cac] (1596-1650). Nhiều năm nghiên cứu và chiêm nghiệm đã thuyết phục ông là tất cả mọi khoa học đều có liên quan với nhau và chìa khoá cho sự liên quan đó là Toán học. Trong quyển sách nổi tiếng “Discours de la Méthodes”xuất bản vào năm 1637 ông đã nêu: “Chuổi dài các lập luận dễ dàng và đơn giản mà các nhà hình học quen dùng để đi tới các kết luận cho các chứng minh hóc hiểm nhất của họ đã khiến tôi nghĩ rằng tất cả mọi vật, đối với kiến thức mà con người có được, đều dính dáng lẫn nhau theo cùng một cách, và rằng từ trước đến giờ không có cái gì bị loại bỏ khỏi chúng ta lại ở ngoài tầm hiểu biết của chúng ta, hay quá dấu kín đến nổi chúng ta không phát hiện ra được, chỉ miễn là ta kiên dè không chấp nhận cái sai thành cái đúng và luôn luôn gìn giữ trong tư tưởng của mình cái trật tự cần thiết cho sự diễn dịch từ cái đúng này đến cái đúng khác”. Ông giải thích rằng phương pháp của ông là sự hợp nhất của logic, “Giải tích (Hình học) của người xưa”, và “Đại số của người hiện đại”, và đề ra 4 quy tắc cơ bản của quy trình khi nói rằng “Bằng cách này tôi tin rằng tôi có thể vay mượn tất cả cái gì là tốt nhất trong Giải tích hình học và trong Đại số, và chỉnh sửa tất cả các khiếm khuyết của cái này nhờ sự trợ giúp của cái kia.” Nói rằng Descartes đã thành công trong việc hợp nhất tất cả các thứ khoa học là hơi quá đáng, nhưng ông đã làm được việc tái hợp 2 họ toán học lớn là số lượng và hình đạng ở một trong ba phụ chương của quyển “Discours de la Méthode”, có tựa đề đơn giản là “La Géometrie” (Hình học). Đây là ấn bản đầu tiên về Hình học giải tích. Trong phụ chương này ông đã áp dụng phương pháp đại số vào hình học khi biểu diễn và phân loại các đuờng cong và các hình hình học khác bằng các phương trình đại số liên kết với một hệ toạ độ. Ông đã dùng cách tiếp cận đại số này để khảo sát và giải quyết một số các câu hỏi hình học, bao gồm cả vài bài toán cổ điển cho tới lúc đó vẫn còn chưa giải đuợc.

René Descartes (1596-1650)

Một đồng hương và cũng là người quen của Descartes là Pierre de Fermat [Fec-ma] (1601-1665), được một số người suy tôn là nhà toán học thuần tuý vĩ đại nhất của thế kỉ 17. Ông chắn chắn là một trong những nhà nghiên cứu khoa học tài tử xuất sắc nhất trong lịch sử. Fermat là một luật sư trầm lặng và không phô trương, một công chức ham thích toán học chỉ như thú vui, công bố ít ỏi nhưng đã bộc lộ khả năng sáng tạo của ông trong khi trao đổi thư từ với Descartes, Mersenne, Pascal và nhiều người khác. Ông phát minh ra hình học giải tích độc lập với Descartes, thai nghén cách tiếp cận toán vi tích phân trước cả khi Newton lẫn Leibniz chưa sinh ra., và là một trong những cha đẻ của lí thuyết toán học về xác suất. Dù các thành tựu nổi trội đó, nhưng ông được biết nhiều nhất qua công trình trong lí thuyết số về tính chất của các số nguyên tố. Thật châm biếm là tên ông lại được gắn thường xuyên với một mệnh đề mà ông không nêu xuất xứ cũng như chứng minh. Trong số nhiều ghi chú bên lề trên một quyển sách ông có (dịch công trình của Diophantus), có một ghi chú cạnh bài toán tìm các giá trị x, y và a thoả phương trình x2+y2=a2${\displaystyle x^2+y^2=a^2}$. Ở ghi chú này ông cho rằng với các số mũ lớn hơn 2 sẽ không có nghiệm nguyên, và tuyên bố rằng ”Tôi đã tìm được một chứng minh thật sự kì diệu [cho điều này] mà lề sách thì quá hẹp không đủ chỗ để ghi ra”. Rủi thay, hình như ông cũng chẳng hề viết nó ở chỗ nào khác, và “định lí cuối cùng của Fermat” vẫn còn được xếp vào trong các bài toán rắc rối nhất chưa giải được cho tới cách đây không lâu.[5]

Người thứ ba trong nhóm này là Gérard Desargues (1593-1662), một quân nhân, một kĩ sư và một nhà hình học. Suốt thời ông còn sống, phần lớn các công trình của ông đều bị che khuất bởi sự quan tâm chung của công chúng đang hướng về các bài viết của Descartes, nhưng hai thế kỉ sau, sách về conic của ông đã đuợc xuất bản lại và được tôn vinh ngay lập tức như là một sách giáo khoa về hình học thuần tuý. Desargues đưa ra cách xử lí hình học về các điểm ở vô tận và nghiên cứu sâu về phối cảnh, và do vậy trở nên nhà sáng lập môn hình học xạ ảnh (chiếu) hiện đại.

Gérard Desargues (1593-1662)

Hoàn chỉnh bộ tứ kiệt xuất này là Blaise Pascal (1623-1662). Từ lúc mới 12 tuổi ông đã xem hình học như một trò giải trí, vào tuổi 16 ông đã chứng minh một trong những kết quả đẹp đẽ nhất và khó đạt tới trong hình học (Nếu một hình lục giác nội tiếp trong một conic thì các giao điểm của ba cặp cạnh đối diện thẳng hàng). rồi ứng dụng nó để đúc kết và mở rộng các công trình trước đó trong lĩnh vực này. Ông đã phát minh ra máy tính khi ông 19 tuổi, và vào tuổi 20 ông đã được công nhận như là một nhà vật lí có năng lực. Ông cùng với Fermat là cha đẻ của lí thuyết xác suất, một môn học mà hai ông đã bị lôi cuốn vào trong nổ lực chung nhằm tìm lời giải đáp cho các câu hỏi của các hội viên quý tộc bài bạc. Ông cũng nghiên cứu các tính chất của đường cycloid và là một trong những người đầu tiên dùng quy nạp toán học một cách có ý thức. Bi kịch của Pascal là vào tuổi 25 ông trở thành một tín đồ gần như cuồng tín dị giáo Jansen và coi toán học như thứ vặt vãnh chỉ để thỉnh thoảng đùa nghịch mà thôi. Phần lớn quảng đời còn lại của ông dành cho việc nghiên cứu triết học và tôn giáo, từ đó ra đời 2 tác phẩm cổ điển “Pensées” (Tư tưỏng) và “Lettres provinciales” (Các lá thư tỉnh lẻ).

Blaise Pascal (1623-1662)

Trong những năm đầu của thế kỉ 17 viên gạch nền móng cuối cùng cho toán vi tích phân được tạo hình ở Ý. Bonaventura Cavalieri, một giáo sư toán học dòng Jesuate của đại học Bologna, đề ra “nguyên lí của không chia hết” năm 1629. Nguyên lí này định ra tiêu chuẩn cho việc so sánh diện tích và thể tích một số hình hình học, dựa trên khẳng định rằng một miền phẳng có thể đuợc xem như được hợp thành bởi một tập hợp vô hạn các miền phẳng song song. Công trình của ông được lưu hành trong toàn thể giới khoa học châu Âu, và vào những năm cuối của thế kỉ này, có hai nhà toán học kết hợp nó với hình học giải tích để dựng lên một toà lâu đài toán với nền móng rất lung lay.

Một người là Isaac Newton [Niu-tơn] (1642 – 1722) mà các thành tựu của ông rất nổi tiếng trong vât lí. Khi còn nhỏ, ông không boôc lộ năng lực toán học rõ rệt, và thành tích học tập trong những năm đầu không có gì là xuất sắc cho lắm, tuy nhiên sau một thời gian ngắn nghỉ học ông đã đi học lại với môt niềm say mê mới. Ông là một sinh viên của trường Trinity College ở Cambridge vào tuổi 19, và sau đó 8 năm ông trở thành giáo sư Toán của đại học Cambridge. Trong thập niên 1666 và 1676, Newton phát triển “lí thuyết về chuyển đổi liên tục” (theory of fluxions) qua 3 luận văn. Mặc dù các luận văn này chỉ được công bố nhiều năm về sau nhưng chúng làm cơ sở cho một công trình sau đó của ông, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, một phát triển về vật lí theo lối tiên đề trong đó Newton đề ra lần đầu tiên một phát biểu có hệ thống hoàn chỉnh về mặt toán học các quy luật về chuyển động nổi tiếng của ông. Quyển Principia đã nhanh chóng giữ lấy vai trò một điều tiên quyết cần thiết cho tiến bộ khoa học và kĩ thuật tương lai, và nó đưọc xếp vào hàng rất ít các công trình toán học có ảnh hưởng sâu sắc trong lịch sử văn minh loài người.

Isaac Newton (1642-1727)

Tuy nhiên trong số những người đồng thời và những người kế tục, việc thừa nhận và tôn vinh ông cũng chưa thất thống nhất. Con người thiên tài này đã biết cái mà ông muốn, và chấp nhận để trực giác lấn lướt một ít các cẩn trọng logic, thừa nhận lí thuyết trước nhất vì nó được việc. Nhưng một số đồng nghiệp ông đã hoài nghi một cách chính đáng. Không có lời phê phán nào dí dỏm và sắc bén một cách cay chua như của George Berkeley, một Giám mục ở Clyone. Trong quyển The Analyst, xuất bản năm 1734, ông tranh luận rằng các nhà khoa học chỉ trích lòng tin vào các điều bí ẩn của tôn giáo cũng có cùng các nổi khó khăn trong chính lĩnh vực của mình: “Và chuyển đổi liên tục (fluxion) là cái gì? Các vận tốc của những gia tăng nhất thời (evanescent increments). Và những gia tăng nhất thời như nhau này là cái gì? Chúng không là những số lượng hữu hạn mà cũng chẳng phải là những số lượng nhỏ vô cùng hay chưa là gì cả. Chúng ta có thể gọi chúng là các bóng ma của những số lượng tách đi được chăng? Chắc chắn là… ai mà tiêu hoá một sự chuyển đổi thứ hai hay thứ ba… , theo tôi, không cần phải quá khe khắt về bất kì điểm nào khi bàn về chủ đề Thần thánh.

Đối thủ của Newton là Gottfried Wilhelm von Leibniz [Lai-niz] (1646 – 1716), một thiên tài nhiều mặt người Đức. Tài năng phi thường của ông bao gồm nhiều lĩnh vực luật, ngoại giao, tôn giáo, triết học, khoa học vật lí và toán học, trong đó ông đã độc lập phát triển toán vi tích phân một thời gian ngắn sau khi đối tác người Anh của ông đã làm điều tương tự. Tuy nhiên, sự việc này đã gây ra tranh luận sôi nổi trong nhiều năm, với lời qua tiếng lại cáo buộc nhau“đạo văn” từ hai phía eo biển Anh, lồng trong tinh thần yêu nước theo kiểu phe phái kéo dài trong nhiều thập kỉ. Không được biết đến nhiều nhưng ít ra cũng quan trọng không kém là công trình của ông về giải tích tổ hợp. Trong việc tìm kiếm một “đặc trưng phổ quát” thống nhất mọi tư tưỏng toán học, ông đã trở thành người sáng lập của logic kí hiệu, một ngành học chỉ được nghiên cứu sâu rộng sau đó hai thế kỉ.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716)

(Sưu tầm)

Lịch sử toán học (phần 4)

Lịch sử Toán học – Phần 4

4. Thế kỉ 15 và thế kỉ 16

Thời Phục hưng của nghệ thuật và học thuật bắt đầu một cách nhanh nhẩu trong thế kỉ 15. Khi Constantinople sụp đổ vào năm 1453, nhiều học giả Hi lạp di cư tới các thành phố và đại học mới của phương Tây. Điều này trùng hợp với việc phát minh ra máy in kiểu di động, một phương tiên hiệu quả trong việc phổ biến thông tin. Các nhu cầu ngày càng tăng của việc giao thương, hàng hải, thiên văn và điều tra thúc đẩy việc nghiên cứu toán học và đồng thời cũng giới hạn nó một ít. Chủ đề thống trị của toán học thế kỉ 15 và 16 là việc tính toán và toán học đã tiến những bước dài trong việc đạt tới tính chính xác và sự hiệu quả trong kĩ thuật tính.

Nhà toán học dẫn đầu của thế kỉ 15 là Johannes Müller (1436-1476), còn được biết dưới tên Regiomontanus. Ngoài việc dịch lại nhiều công trình cổ điển Hi Lạp và nghiên cứu các vì sao, ông còn viết quyển De triangulis omnimodis, quyển sách đầu tiên dành riêng cho lượng giác. Quyển sách này khác biệt rất ít so với lượng giác hiện nay trừ cách kí hiệu, và nó đánh dấu sự mở đầu của lương giác như một ngành học độc lập với thiên văn.

Những quyển sách toán được in đầu tiên là sách số học thương mại xuất hiện năm 1478 và bản Latin của quyển Cơ bản của Euclid năm 1482. Tuy nhiên, toán học thu được nguồn lợi tức thật sự lần đầu từ việc in ấn bằng sự xuất hiện của quyển Summa de Arithmetica của Luca Pacioli, một nhà tu dòng Francisco. Quyển sách này được viết bằng tiếng Ý và là một sách hoàn chỉnh của tất cả kiến thức số học, đại số, và lượng giác biết được tới lúc đó, kết thúc với một nhận xét rằng các phương trình bậc ba là không giải được với các công cụ toán học đang có. Như để đáp ứng với thách thức này, các nhà toán học ở Đại học Bologna đã tấn công vào bài toán và đã khử đuợc nó trong phần tư đầu của thế kỉ kế.

Nhà khoa học lỗi lạc nhất của thời kì này là Leonardo da Vinci (1452-1519), một người với sự tài giỏi đa dạng bao gồm các lĩnh vực hoạt động như hội hoạ, điêu khắc, sinh học, kiến trúc, cơ học và quang học. Công trình toán học của ông tập trung vào hình học và ứng dụng của nó vào nghệ thuật và các khoa học vật lí. Việc ứng dụng toán học vào nghệ thuật không chỉ hạn hẹp trong các công trình của Vinci. Nhiều hoạ sĩ nổi tiếng khác của thế kỉ 16 cũng là các nhà hình học xuất sắc, nổi bậc là Albretch Dürer. Ông viết công trình in đầu tiên bàn về các đường cong phẳng bậc cao và khảo sát của ông vể phối cảnh và tỉ lệ đã được phản ánh trong các tác phẩm nghệ thuật của các hoạ sĩ cùng thời.

Leonardo da Vinci

Cha đẻ của toán học Anh là Robert Recorde (k 1510 -1558), một bác sĩ y khoa, nhà giáo duc và một công chức. Ông đã xuất bản 4 quyển sách toán, viết với dạng đối thoại tiếng Anh với sự trong sáng, chính xác và có cơ sở: The Ground of Artes (Cơ sở của số học), một sách số học đã trải qua tới ít nhất 29 lấn tái bản; The Castle of Knowledge (Lâu đài kiến thức), bản trình bày đầu tiên bằng tiếng Anh về lí thuyết Copernic trong thiên văn; The Pathway to Knowledge (Con đưòng dẫn đến Kiến thức), bản rút ngắn của bộ Cơ bản của Euclid; và The Whetstone of Witte, sách đại số, trong đó kí hiệu đẳng thức "=" xuất hiện lần đầu tiên.

Robert Recorde

Trong nửa sau của thế kỉ 16, một luật sư người Pháp tên là François Viète [Vi-et] (1540-1603) bắt đầu dành toàn bộ thời gian rãnh rổi cho toán học, và ông đã đưa kĩ thuật đại số tiến những bước đáng kể. Ông là người đầu tiên dùng các hệ số bằng chữ khi giải phương trình, và sự nhất quán trong hệ thống kí hiệu của ông, bao gồm cả dấu + và –, đã đưa ông thành ngưòi đi đầu trong việc phát triển các phương pháp tổng quát cho việc giải phương trình. Bằng cách áp dụng các phương pháp đại số này, Viète [4] đã mở rộng và khái quát việc nghiên cứu lượng giác. Cho mãi tới thế kỉ 18 mới có một nhà đại số khác có năng lực tương đuơng với ông.

François Viète

Tên tuổi cuối có tầm quan trọng lớn thuộc thế kỉ 16 là Simon Slevin của Hà Lan, có công phát triển lí thuyết về phân số thập phân năm 1585. Hai trăm năm chuẩn bị cho một cuộc bùng nổ về khoa học báo hiệu bình mình của kỉ nguyên lớn thứ ba của toán học đã kết thúc như thế.

Chú thích

[2] Số phẳng là hợp số có thể biểu diễn dưới dạng tích 2 thừa số nguyên
[3] Số không gian là hợp số có thể biểu diễn dưới dạng tích của 3 thừa số nguyên
[4] Trong chương trình toán THP,T chúng ta biết Viète qua định lí về tổng và tích của phương trình bậc hai (S=−ba${\displaystyle S=-{\displaystyle \frac{b}{a}}}$ và P=ca${\displaystyle P={\displaystyle \frac{c}{a}}}$
${\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{(Sưu\; tầm)}}{}}}$